Was ist der Dreisatz?
Mit dem Dreisatz berechnest du aus drei bekannten Werten einen vierten, unbekannten Wert. Der Name beschreibt die drei Sätze der Lösung: die Aussage, den Schluss auf die Einheit und den Schluss auf die gesuchte Menge. Das Verfahren ist seit Jahrhunderten im Rechenunterricht verbreitet, in Deutschland unter anderem durch die Rechenbücher von Adam Ries.
Proportionaler Dreisatz: je mehr, desto mehr
Eine Zuordnung ist proportional, wenn beide Größen im gleichen Verhältnis wachsen. Doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel. Im zweiten Schritt teilst du, im dritten Schritt multiplizierst du.
| Schritt | Hefte | Preis |
|---|---|---|
| Aussage | 3 | 6,00 € |
| Auf 1 schließen (÷ 3) | 1 | 2,00 € |
| Auf 5 schließen (× 5) | 5 | 10,00 € |
Antiproportionaler Dreisatz: je mehr, desto weniger
Eine Zuordnung ist antiproportional (auch umgekehrt proportional), wenn die eine Größe kleiner wird, während die andere wächst. Doppelt so viele Maler brauchen nur halb so lange. Im zweiten Schritt multiplizierst du, im dritten Schritt teilst du.
| Schritt | Maler | Tage |
|---|---|---|
| Aussage | 4 | 6 |
| Auf 1 schließen (× 4) | 1 | 24 |
| Auf 3 schließen (÷ 3) | 3 | 8 |
Zusammengesetzter Dreisatz
Hängt das Ergebnis von mehreren Größen ab, sprichst du vom zusammengesetzten oder doppelten Dreisatz. Du schließt dann für jede Größe einzeln auf die Einheit.
Beispiel 1 (beide proportional): 3 Maschinen stellen in 4 Stunden 360 Teile her. Wie viele Teile stellen 5 Maschinen in 6 Stunden her?
- Auf 1 Maschine schließen. 1 Maschine stellt in 4 Stunden 360 ÷ 3 = 120 Teile her.
- Auf 1 Stunde schließen. 1 Maschine stellt in 1 Stunde 120 ÷ 4 = 30 Teile her.
- Hochrechnen. 5 Maschinen stellen in 6 Stunden 30 × 5 × 6 = 900 Teile her.
Beispiel 2 (gemischt): 6 Arbeiter bauen 120 m Zaun in 8 Tagen. Wie lange brauchen 4 Arbeiter für 90 m?
- Auf 1 Arbeiter schließen (antiproportional). 1 Arbeiter braucht für 120 m: 8 × 6 = 48 Tage.
- Auf 1 Meter schließen (proportional). 1 Arbeiter braucht für 1 m: 48 ÷ 120 = 0,4 Tage.
- Hochrechnen. 4 Arbeiter brauchen für 90 m: 0,4 × 90 ÷ 4 = 9 Tage.
Prozentrechnung mit dem Dreisatz
Prozentaufgaben sind proportionale Dreisätze, bei denen der Grundwert 100 % entspricht. So lassen sich alle drei Grundaufgaben lösen:
| Gesucht | Aussage | Auf 1 schließen | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| Prozentwert: 20 % von 80 | 100 % ≙ 80 | 1 % ≙ 0,8 | 20 % ≙ 16 |
| Prozentsatz: 16 von 80 | 80 ≙ 100 % | 1 ≙ 1,25 % | 16 ≙ 20 % |
| Grundwert: 16 sind 20 % | 20 % ≙ 16 | 1 % ≙ 0,8 | 100 % ≙ 80 |
Mit Formeln geht es schneller: Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert berechnen.
Dreisatz als Verhältnisgleichung
Proportionale Aufgaben lassen sich auch als Gleichung zweier Brüche schreiben. Für „3 Hefte kosten 6 €, was kosten 5 Hefte?“ gilt 6 ÷ 3 = x ÷ 5. Multiplizierst du beide Seiten mit 5, erhältst du x = 10. Diese Schreibweise ist kürzer, der Dreisatz in Worten ist aber leichter zu kontrollieren.
Typische Fehler
- Art der Zuordnung verwechselt. Prüfe vor dem Rechnen: je mehr, desto mehr oder je mehr, desto weniger?
- Einheiten vermischt. Rechne Minuten und Stunden oder Gramm und Kilogramm vorher in dieselbe Einheit um.
- Zu früh gerundet. Runde erst das Endergebnis, sonst entstehen Abweichungen.
- Ergebnis nicht geprüft. Frag dich zum Schluss, ob das Ergebnis plausibel ist. Mehr Arbeiter dürfen nicht länger brauchen.
Übungen mit Lösungen
5 kg Äpfel kosten 12,50 €. Was kosten 3 kg?
Lösung anzeigen
1 kg: 12,50 ÷ 5 = 2,50 €. 3 kg: 2,50 × 3 = 7,50 €
Ein Vorrat reicht für 12 Pferde 30 Tage. Wie lange reicht er für 20 Pferde?
Lösung anzeigen
1 Pferd: 30 × 12 = 360 Tage. 20 Pferde: 360 ÷ 20 = 18 Tage
8 Drucker drucken in 5 Minuten 2.000 Seiten. Wie viele Seiten drucken 6 Drucker in 12 Minuten?
Lösung anzeigen
1 Drucker, 1 Minute: 2.000 ÷ 8 ÷ 5 = 50 Seiten. 6 Drucker, 12 Minuten: 50 × 6 × 12 = 3.600 Seiten
Häufige Fragen
Wie funktioniert der Dreisatz?
Der Dreisatz löst Aufgaben in drei Schritten. Zuerst schreibst du die bekannte Aussage auf, zum Beispiel „3 Hefte kosten 6 €“. Dann schließt du auf eine Einheit („1 Heft kostet 2 €“). Zum Schluss rechnest du auf die gesuchte Menge hoch („5 Hefte kosten 10 €“).
Woran erkenne ich, ob ein Dreisatz proportional oder antiproportional ist?
Frage dich: Wenn die eine Größe doppelt so groß wird, was passiert mit der anderen? Wird sie auch doppelt so groß, ist die Zuordnung proportional. Wird sie halb so groß, ist sie antiproportional.
Was ist ein zusammengesetzter Dreisatz?
Beim zusammengesetzten Dreisatz hängt das Ergebnis von mehr als einer Größe ab, zum Beispiel von der Anzahl der Maschinen und der Arbeitszeit. Du rechnest dann mehrere Dreisätze nacheinander und schließt jeweils auf eine Einheit.
Ist der Dreisatz dasselbe wie eine Verhältnisgleichung?
Ja, beide führen zum selben Ergebnis. Die Verhältnisgleichung schreibt die Aufgabe als Bruchgleichung, etwa 3 ÷ 6 = 5 ÷ x. Der Dreisatz löst dieselbe Aufgabe in Worten und Schritten, was für viele leichter nachzuvollziehen ist.
Quellen und weiterführende Links
- Dreisatz (Wikipedia) Geschichte und Varianten des Dreisatzes, bekannt aus den Rechenbüchern von Adam Ries.