Was ist ein Durchschnitt?
Der Durchschnitt ist der Wert, den jedes Element hätte, wenn man die Summe gleichmäßig verteilt. In der Mathematik heißt er arithmetisches Mittel oder Mittelwert, das Zeichen ist Ø. Verkauft ein Café an fünf Tagen 12, 15, 9, 18 und 16 Kaffees, sind das im Durchschnitt 14 Kaffees pro Tag.
Formel: So wird der Durchschnitt berechnet
x₁ bis xₙ = die Werte · n = Anzahl der Werte
- Alle Werte addieren. 12 + 15 + 9 + 18 + 16 = 70.
- Werte zählen. Es sind 5 Werte.
- Summe durch Anzahl teilen. 70 ÷ 5 = 14.
8 und 13
(8 + 13) ÷ 2 = 10,5
4, 7 und 10
(4 + 7 + 10) ÷ 3 = 7
−2, 3 und 5 °C
(−2 + 3 + 5) ÷ 3 = 2 °C
42 Liter auf 700 km
42 ÷ 700 × 100 = 6 l/100 km
Gewichteter (gewogener) Durchschnitt: Notendurchschnitt berechnen
Beim gewichteten oder gewogenen Durchschnitt zählen manche Werte mehr als andere. Typisch sind Schulnoten: Eine Klassenarbeit zählt oft doppelt, eine mündliche Note einfach.
w = Gewicht der Note · x = Note
| Leistung | Note | Gewicht | Note × Gewicht |
|---|---|---|---|
| Klassenarbeit 1 | 2 | 2 | 4 |
| Klassenarbeit 2 | 3 | 2 | 6 |
| Mündlich | 1 | 1 | 1 |
| Referat | 2 | 1 | 2 |
| Summe | 6 | 13 |
Der Notendurchschnitt beträgt 13 ÷ 6 = 2,17. Ohne Gewichtung wären es (2 + 3 + 1 + 2) ÷ 4 = 2,0. Welche Gewichte gelten und ob auf- oder abgerundet wird, legen Schule und Bundesland fest.
Notenpunkte in der Oberstufe
In der Oberstufe gibt es 0 bis 15 Notenpunkte. Den Durchschnitt bei Notenpunkten rechnest du genauso aus: 11, 9 und 13 Punkte ergeben (11 + 9 + 13) ÷ 3 = 11 Punkte. Für die Umrechnung gilt: 15 bis 13 Punkte entsprechen der Note 1, 12 bis 10 der Note 2, 9 bis 7 der Note 3, 6 bis 4 der Note 4, 3 bis 1 der Note 5 und 0 Punkte der Note 6.
Median: der mittlere Wert
Der Median ist der Wert in der Mitte einer sortierten Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist er der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Der Median wird von Ausreißern kaum beeinflusst.
| Gehälter (sortiert) | Durchschnitt | Median |
|---|---|---|
| 2.000 €, 2.200 €, 2.500 €, 2.800 €, 12.000 € | 4.300 € | 2.500 € |
Ein einziges hohes Gehalt hebt den Durchschnitt stark an, der Median bleibt bei 2.500 €. Deshalb werden Einkommen oft mit dem Median angegeben. Der häufigste Wert einer Liste heißt übrigens Modus.
Durchschnitt im Zeugnis und im Abitur
Den Durchschnitt auf dem Zeugnis berechnest du aus den Zeugnisnoten aller Fächer. Den Durchschnitt eines Faches bilden die einzelnen Noten des Halbjahres, oft gewichtet. Im Abitur gilt die Formel der Kultusministerkonferenz: Abiturnote = 17/3 − Gesamtpunkte ÷ 180. Mit 600 Punkten ergibt das 2,33, die Note wird nach der ersten Nachkommastelle abgeschnitten, also 2,3.
Durchschnitt von Prozenten
Prozentsätze darfst du nur einfach mitteln, wenn die Grundwerte gleich groß sind. In Klasse A mit 30 Schülern bestehen 20 % eine Prüfung (6 Schüler), in Klasse B mit 10 Schülern 40 % (4 Schüler). Insgesamt bestehen 10 von 40 Schülern, also 25 % und nicht 30 %. Rechne Prozente deshalb erst in absolute Zahlen um.
Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Gesamtstrecke geteilt durch die Gesamtzeit. Wer 120 km hin mit 60 km/h und zurück mit 40 km/h fährt, braucht 2 + 3 = 5 Stunden für 240 km. Das ergibt 240 ÷ 5 = 48 km/h und nicht 50 km/h. Der einfache Durchschnitt der Geschwindigkeiten ist hier falsch.
Weitere Beispiele: Temperatur, Blutdruck, Preis
- Durchschnitt von Temperaturen: Das Tagesmittel ist der Durchschnitt mehrerer Messwerte eines Tages. Bei −2, 3 und 5 °C sind es 2 °C.
- Durchschnitt von Blutdruckwerten: Oberen und unteren Wert getrennt mitteln. 128/82, 134/86 und 122/80 ergeben im Schnitt 128/82,7. Die Bewertung gehört in ärztliche Hand.
- Durchschnittspreis: Gewichte mit der Menge. 10 Aktien zu 50 € und 20 Aktien zu 44 € kosten im Schnitt (500 + 880) ÷ 30 = 46 €.
- Durchschnittsverbrauch: Getankte Liter ÷ gefahrene Kilometer × 100, also 42 ÷ 700 × 100 = 6 Liter auf 100 km.
Durchschnitt in Excel und Google Tabellen
| Gesucht | Formel |
|---|---|
| Durchschnitt (Mittelwert) | =MITTELWERT(A1:A10) |
| Median | =MEDIAN(A1:A10) |
| Gewichteter Durchschnitt | =SUMMENPRODUKT(A1:A10;B1:B10)/SUMME(B1:B10) |
| Durchschnitt ohne Nullen | =MITTELWERTWENN(A1:A10;"<>0") |
Mehr Tabellenformeln rund um Prozente findest du unter Prozentrechnung in Excel.
Durchschnitt in Python berechnen
In Python berechnest du den Durchschnitt von mehreren Zahlen mit sum(werte) / len(werte) oder mit dem Modul
statistics: statistics.mean(werte) liefert den Mittelwert, statistics.median(werte)
den Median.
Gleitenden Durchschnitt berechnen
Ein gleitender Durchschnitt ist der Mittelwert der jeweils letzten n Werte. Er glättet Schwankungen, etwa bei Aktienkursen oder Tageswerten. Der 3-Tage-Durchschnitt am Freitag im Kaffee-Beispiel ist (9 + 18 + 16) ÷ 3 = 14,33.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den Durchschnitt?
Addiere alle Werte und teile die Summe durch die Anzahl der Werte. Der Durchschnitt von 12, 15, 9, 18 und 16 ist (12 + 15 + 9 + 18 + 16) ÷ 5 = 70 ÷ 5 = 14.
Ist Durchschnitt dasselbe wie Mittelwert?
Ja, im Alltag meint Durchschnitt fast immer das arithmetische Mittel, also den Mittelwert. In der Statistik gibt es weitere Mittelwerte wie den gewichteten Mittelwert, den Median und das geometrische Mittel.
Wie berechnet man den Notendurchschnitt mit Gewichtung?
Multipliziere jede Note mit ihrem Gewicht, addiere die Ergebnisse und teile durch die Summe der Gewichte. Zählen die Noten 2 und 3 doppelt und die Noten 1 und 2 einfach, ist der Schnitt (2 × 2 + 3 × 2 + 1 + 2) ÷ 6 = 2,17.
Wie berechnet man den Durchschnitt in Excel?
Mit der Funktion =MITTELWERT(A1:A10). Den Median liefert =MEDIAN(A1:A10), einen gewichteten Durchschnitt =SUMMENPRODUKT(A1:A10;B1:B10)/SUMME(B1:B10), wobei in Spalte B die Gewichte stehen.
Wie berechnet man den Durchschnitt von Prozenten?
Prozente darf man nur einfach mitteln, wenn die Grundwerte gleich groß sind. Sonst rechnest du die Anteile zurück in absolute Zahlen: 20 % von 30 und 40 % von 10 sind 6 + 4 = 10 von 40, also 25 % und nicht 30 %.
Was ist der Unterschied zwischen Durchschnitt und Median?
Der Durchschnitt verteilt die Summe gleichmäßig auf alle Werte. Der Median ist der mittlere Wert einer sortierten Liste. Bei Ausreißern ist der Median aussagekräftiger: Bei Gehältern von 2.000, 2.200, 2.500, 2.800 und 12.000 € liegt der Durchschnitt bei 4.300 €, der Median bei 2.500 €.
Quellen und weiterführende Links
- Mittelwert (Wikipedia) Arithmetisches, gewichtetes und harmonisches Mittel im Überblick.
- Median (Wikipedia) Der Zentralwert und warum er robust gegen Ausreißer ist.