Dezimalbrüche begegnen dir überall: auf Preisschildern (2,49 €), beim Messen (1,75 m) und in der Prozentrechnung, denn 19 % sind der Dezimalbruch 0,19. Diese Seite erklärt, was ein Dezimalbruch ist, wie eine Dezimalzahl aufgebaut ist, welche drei Arten es gibt und wie man sie schreibt und spricht.
Was ist ein Dezimalbruch?
Ein Dezimalbruch (auch Zehnerbruch) ist ein Bruch, dessen Nenner 10, 100, 1.000 oder eine andere Zehnerpotenz ist. Beispiele sind 7/10, 25/100 und 375/1000. Weil der Nenner eine Zehnerpotenz ist, lässt sich der Bruch ohne Rechnen als Kommazahl schreiben: Die Anzahl der Nullen im Nenner gibt die Anzahl der Stellen nach dem Komma an.
| Dezimalbruch | Kommazahl | gelesen |
|---|---|---|
| 7/10 | 0,7 | sieben Zehntel |
| 25/100 | 0,25 | fünfundzwanzig Hundertstel |
| 375/1000 | 0,375 | dreihundertfünfundsiebzig Tausendstel |
| 3275/1000 | 3,275 | drei Ganze und 275 Tausendstel |
Was ist eine Dezimalzahl?
Eine Dezimalzahl ist eine Zahl im Zehnersystem, die mit Komma geschrieben wird. Umgangssprachlich heißt sie Kommazahl. In Schule und Alltag werden Dezimalzahl und Dezimalbruch meist gleichbedeutend verwendet. Genau genommen beschreibt der Dezimalbruch die Bruchform (3275/1000) und die Dezimalzahl die Kommaform (3,275).
Aufbau einer Dezimalzahl
Eine Dezimalzahl besteht aus drei Teilen:
- Ganzzahliger Teil links vom Komma: Einer, Zehner, Hunderter.
- Komma als Trennzeichen.
- Nachkommastellen (Dezimalstellen) rechts vom Komma: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.
Die Zahl 3,275 bedeutet also 3 + 2/10 + 7/100 + 5/1000. Die erste Stelle nach dem Komma zählt Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel. Deshalb ist 0,5 größer als 0,49: Beim Vergleichen zählt die Stelle, nicht die Anzahl der Ziffern.
Die drei Arten von Dezimalbrüchen
1. Endliche Dezimalbrüche
Ein endlicher (abbrechender) Dezimalbruch hat eine begrenzte Zahl von Nachkommastellen, zum Beispiel 0,5, 0,75 oder 0,125. Ein gekürzter Bruch ergibt genau dann einen endlichen Dezimalbruch, wenn sein Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. 3/8 ist endlich (8 = 2 × 2 × 2), 1/3 nicht.
2. Periodische Dezimalbrüche
Bei einem periodischen Dezimalbruch wiederholt sich eine Ziffernfolge unendlich oft. Diese Folge heißt Periode und wird mit einem Strich darüber markiert.
- Rein periodisch: Die Periode beginnt direkt nach dem Komma. 1/3 = 0,3 und 3/11 = 0,27.
- Gemischt periodisch: Vor der Periode stehen weitere Ziffern. 1/6 = 0,16 und 5/6 = 0,83.
3. Unendliche nicht periodische Dezimalzahlen
Manche Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen ohne Wiederholung, zum Beispiel π = 3,14159… und √2 = 1,41421… Diese Zahlen heißen irrational. Sie lassen sich nicht als Bruch schreiben und werden in der Praxis gerundet.
Endliche und periodische Dezimalbrüche heißen auch rationale Dezimalzahlen, denn sie lassen sich als Bruch schreiben. Ein unendlicher Dezimalbruch ist entweder periodisch (rational) oder nicht periodisch (irrational).
Wichtige Brüche als Dezimalbruch
| Bruch | Dezimalbruch | Art | Prozent |
|---|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | endlich | 50 % |
| 1/3 | 0,3 | rein periodisch | 33,33 % |
| 1/4 | 0,25 | endlich | 25 % |
| 1/5 | 0,2 | endlich | 20 % |
| 1/6 | 0,16 | gemischt periodisch | 16,67 % |
| 1/8 | 0,125 | endlich | 12,5 % |
| 1/9 | 0,1 | rein periodisch | 11,11 % |
| 1/10 | 0,1 | endlich | 10 % |
| 2/3 | 0,6 | rein periodisch | 66,67 % |
| 3/4 | 0,75 | endlich | 75 % |
Wie du jeden Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst und zurück, zeigt die Anleitung Brüche in Dezimalzahlen umwandeln. Den Prozentwert rechnet der Bruch-in-Prozent-Rechner automatisch aus.
Schreibweise
- Komma oder Punkt: In Deutschland, Österreich und der Schweiz trennt ein Komma die Nachkommastellen: 3,5. Im Englischen und auf vielen Taschenrechnern steht ein Punkt: 3.5.
- Tausendertrennzeichen: Große Zahlen gliedert man mit Punkt oder schmalem Leerzeichen: 1.250,75 oder 1 250,75.
- Nullen am Ende: 0,50 und 0,5 haben denselben Wert. Die Null am Ende darf mathematisch wegfallen.
Implizite Genauigkeitsangabe
Bei Messwerten sagt die Zahl der Nachkommastellen etwas über die Genauigkeit. 2,50 m bedeutet: auf den Zentimeter genau gemessen. 2,5 m bedeutet: auf den Dezimeter genau. Deshalb schreibt man Messwerte mit so vielen Stellen, wie tatsächlich gemessen wurden.
Sprechweise
Die Ziffern nach dem Komma werden einzeln gesprochen. 3,275 heißt „drei Komma zwei sieben fünf“. Bei Geldbeträgen gilt eine Ausnahme: 3,27 € spricht man „drei Euro siebenundzwanzig“.
Rechnen mit Dezimalzahlen
- Addieren und Subtrahieren: Komma unter Komma schreiben. 2,5 + 1,75 = 4,25.
- Multiplizieren: Ohne Komma rechnen, dann so viele Nachkommastellen setzen, wie beide Faktoren zusammen haben. 1,2 × 0,3: 12 × 3 = 36, zwei Stellen, also 0,36.
- Dividieren: Beim Teiler das Komma wegschieben, beim geteilten Wert genauso weit. 4,5 ÷ 0,15 = 450 ÷ 15 = 30.
- Durchschnitt bilden: Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. (2,5 + 3,1 + 1,9) ÷ 3 = 7,5 ÷ 3 = 2,5. Mehr dazu im Ratgeber Durchschnitt berechnen.
Dezimalzahlen für Kinder erklärt (5. und 6. Klasse)
Dezimalzahlen lernen Kinder meist in der 5. und 6. Klasse. Am einfachsten erklärt man sie mit Geld: 2,35 € sind 2 Euro und 35 Cent, also 2 Ganze und 35 Hundertstel. Genauso sind 1,5 Liter anderthalb Liter. Die Dezimalbruchdarstellung ist nur eine andere Schreibweise für einen Bruch: 1/2 und 0,5 beschreiben dieselbe Zahl.
- Ein Neuntel als Dezimalbruch: 1/9 = 0,1, 2/9 = 0,2, 4/9 = 0,4. Neuntel ergeben immer eine Periode aus einer Ziffer.
- Kleinste und größte Dezimalzahl: Es gibt keine. Zwischen zwei Dezimalzahlen liegt immer eine weitere, zwischen 0,1 und 0,2 zum Beispiel 0,15.
Dezimalzahlen in der Informatik
Computer rechnen intern im Zweiersystem. Viele Dezimalzahlen wie 0,1 lassen sich dort nicht exakt speichern, sondern nur als sehr nahe Näherung. Deshalb ergibt 0,1 + 0,2 in vielen Programmiersprachen 0,30000000000000004. Für Geldbeträge rechnen Programme deshalb oft in Cent oder mit speziellen Dezimaltypen.
Geschichte der Dezimalbrüche
Der persische Mathematiker Dschamschid al-Kaschi beschrieb Dezimalbrüche 1427 in seinem Werk „Schlüssel der Arithmetik“. In Europa machte sie der flämische Mathematiker Simon Stevin 1585 mit seiner Schrift De Thiende („Das Zehntel“) bekannt. Stevin schrieb die Stellen noch mit eingekreisten Ziffern. Komma und Punkt als Trennzeichen setzten sich erst im 17. Jahrhundert durch.
Dezimalbrüche und Prozent
Prozent ist ein Dezimalbruch mit dem Nenner 100. 19 % = 19/100 = 0,19. Deshalb rechnet man „19 % von 250“ einfach als 250 × 0,19 = 47,50. Wer Dezimalbrüche beherrscht, hat die halbe Prozentrechnung schon verstanden.
Häufige Fragen
Was ist ein Dezimalbruch?
Ein Dezimalbruch ist ein Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner, also 10, 100, 1.000 und so weiter. Man schreibt ihn meist als Kommazahl: 7/10 = 0,7 und 25/100 = 0,25.
Was ist eine Dezimalzahl?
Eine Dezimalzahl ist eine Zahl im Zehnersystem, die mit Komma geschrieben wird, zum Beispiel 3,275. Links vom Komma stehen die ganzen Zahlen, rechts die Zehntel, Hundertstel und Tausendstel.
Was ist der Unterschied zwischen Dezimalbruch und Dezimalzahl?
Im Alltag und in der Schule meinen beide Begriffe dasselbe: eine Kommazahl. Streng genommen ist der Dezimalbruch die Bruchschreibweise mit Zehnerpotenz im Nenner (275/1000), die Dezimalzahl die Schreibweise mit Komma (0,275).
Welche Arten von Dezimalbrüchen gibt es?
Es gibt drei Arten: endliche Dezimalbrüche wie 0,75, periodische Dezimalbrüche wie 0,333… und unendliche nicht periodische Dezimalzahlen wie π = 3,14159… Die periodischen teilen sich in rein periodische (0,333…) und gemischt periodische (0,1666…).
Wie spricht man eine Dezimalzahl aus?
Die Ziffern nach dem Komma werden einzeln gesprochen: 3,275 heißt „drei Komma zwei sieben fünf“, nicht „drei Komma zweihundertfünfundsiebzig“.
Was ist ein Drittel als Dezimalbruch?
Ein Drittel ist 0,333…, ein periodischer Dezimalbruch mit der Periode 3. Ein Viertel ist 0,25, ein Fünftel 0,2, ein Achtel 0,125 und ein Sechstel 0,1666…
Was ist ein Dezimalbruch in der 6. Klasse?
In der 6. Klasse lernt man Dezimalbrüche als Brüche mit 10, 100 oder 1.000 im Nenner, die mit Komma geschrieben werden: 3/10 = 0,3 und 45/100 = 0,45. Dazu gehören Stellenwerttafel, Vergleichen, Runden und das Umwandeln von Brüchen.
Quellen und weiterführende Links
- Dezimalbruch (Wikipedia) Definition, Schreibweise und Geschichte der Dezimalbrüche.
- Prozent (Wikipedia) Herkunft, Schreibweise und mathematische Definition des Prozentbegriffs.